בהינתן מערכת המורכבת משתי מסות על משטח ללא חיכוך המחוברות על ידי שלושה קפיצים באופן הבא:
המסה מחוברת לקיר על ידי קפיץ בעל קבוע ולמסה על ידי קפיץ נוסף בעל קבוע .
המסה מחוברת מצידה השני לקיר נוסף על ידי קפיץ בעל קבוע , כפי שמתואר באיור.

א. כתבו את משוואות התנועה עבור המסות ובטאו אותן בצורה מטריציונית.
(רמז: מצאו מטריצות ו- המקיימות -
כאשר הוא וקטור המתאר את מיקום המסות)

פתרון סעיף א:
נניח כי המערכת הייתה במנוחה ו- זה השינוי של המסה הראשונה מנקודת המנוחה ו- אותו דבר בהתאם עם המסה השנייה ונניח וכי:
כלומר שמשוואת הכוחות על :

ועל המסה :

נסדר קצת המשוואות כדי שנוכל לבודד את :

נראה כי כאשר:
, ,

ב. מצאו את התדירויות העצמיות של המערכת.
(רמז פתרו , ). מדוע זו המשוואה שצריך לפתור?

פתרון סעיף ב׳:

ננחש פתרון הרמוני:

נציב במשוואת הרמז של סעיף א׳:

בשביל שיהיה פיתרון לא טריוויאלי למערכת משוואות אנחנו צריכים לבדוק מתי הדטרמיננטה של שווה ל-0.
משום שזה אומר שהיא לא הפיכה מה שאומר שהגרעין שלה לא ריק ובו שוכנים הוקטורים שאנחנו מחפשים אשר יכולים לאפס את המטריצה:

נסמן :

נבחר את התדיריות הזוויתיות החיובית כי הזמן תמיד חיובי.

ג. מצאו את צורת התנודה (וקטורים עצמיים) עבור כל אחת מהתדירויות העצמיות.

פתרון סעיף ג׳:
נפתור בעיה מסדר-גנרי:
בגלל ש הפיכה זה אומר שכל הפתרונות לבעיה הזאת:

הם אותם פתרונות למשוואה אם נכפיל משמאל במטריצה ההפיכה :

והגענו להגדרה של וקטור עצמי.
במקרה שלנו אם נכפיל את הוקטור העצמי של הבעיה הגנרית בסקלר שהערך שלו הוא הדטרימננטה של נגיע לוקטור העצמי של ההגדרה הפורמלית.

ניקח וקטור כללי ונכפיל בתוצאה שלנו ונשווה לאפס:

נמצא את היחס בין ל מהשורה הראשונה:

נראה כי אלו הוקטורים העצמאיים:
,

למען הפשטות נסמן:

וכעת נוכל לבטא בפשטות הוקטורים העצמאיים כך:

,

ד. בהינתן :

חשבו את התנועה של המסות כתלות בזמן.

פתרון סעיף ד׳:
נחשב את התנועה באמצעות וקטור מיקום בצורה הזאת:

מכאן נובע כי:

נגזור את משוואות התנועה לפי הזמן כדי להציב את נתוני הסעיף:

התדירויות והמקדמי יחס כולם קבועים לכן כדי שהמשוואה תתקיים תמיד אז:

נציב את כל המקדמים שמצאנו במשוואות תנועה ונקבל:

קשור: תנודות מצומדות, לגרנזיאן

#מכניקה-אנליטית #שיעורי-בית #תנודות-מצומדות

ה.מדען שביצע את הניסוי שתואר בסעיפים הקודמים בטעות שפך דבש על כל המשטח
שבו נעו המסות, מתוך הנחה שכעת קיים חיכוך לינארי בין המסות למשטח כתבו שוב את משוואת התנועה עבור המערכת הכוללת חיכוך, נתחו איכותית( אין צורך בפתרון מדוייק) את תנועת המסות.

פתרון סעיף ה׳:
נשים לב שיש לנו מקרה של אוסילטור הרמוני מרוסן.
באופן כללי וגס הansat למשוואת המיקום מתוך משוואת הכוחות הזאת:

הוא:

מה שאומר שבמקרה שהאוסילציה יותר גדולה מהחיכוך יהיה לנו ריסון חלש מה שאומר המסות ינועו ימינה שמאלה ועם הזמן התנועה תתדעך עד שהם יעצרו
במידה והחיכוך יהיה יותר גדול מהאוסילציה יהיה לנו ריסון חזק מה שאומר שהמסות ידעכו מהר ללא אוסילציות ויעצרו
במידה החיכוך שווה לאוסילציות יהיה לנו ריסון קריטי

ו.לאחר שסיים לנקות את המשטח מדבש (אין חיכוך), המדען שם לב שיש מעט דבש
על אחת מהמסות (הדבש חסר מס)( כאשר ניסה לנקות אותן התחילו המסות לנוע
לכן ניתן לתאר את הניקיון של המדען ככוח חיצוני מחזורי, כתבו שוב את משוואת
התנועה עבור המערכת בזמן שהכוח החיצוני פועל, נתחו איכותית את תנועת המסות,
האם קיים רזוננס במערכת? מהו?

פתרון סעיף ו׳:
כעת יש לנו מקרה של אוסילטור הרמוני מאולץ:

נסמן:
התדרשלהכוח
התדרשלהמערכת

ונשתמש בansat:

ישנה תהודה במערכת אם :

ואז הפתרון שלנו מתבדר ולכן נשתמש בansat אחר: