נחלק ב:

נציב את משוואה (1) לחישוב של האנרגיה הקינטית:

מאחר ויש לנו רק דרגה אחת של חופש נראה כי:

נגזור ב:

ניזכר שוב במשוואה (1):

נשים לב כי מתחבא פה תנע

נחזור לזה אחר כך, אנחנו יודעים שתחת אילוצים הולונומיים(כלומר שהתנועה תלויה רק במיקום ולא במהירות או בתאוצה) מתקיימת משוואה (1).
אם לא היו לנו את האילוצים הללו היו עוד איברים בביטוי.
בכל אופן נגזור את משוואה (1) ב-:

לאחר צמצום נקודות נראה כי:

נחשב את הנגזרות המופיעות במשוואת לגראנז׳:

נשנה את סדר הגזירה ונזכר שוב שמתחבא לנו פה תנע:

א.
צריך דרגה אחת של חופש והיא הזווית. משום שבזכות האילוצים של הקיר הרצפה והאורך הקבוע של הסולם אני אוכל לתאר את המערכת רק בזכות לדעת מהי הזווית.

ב.
היא הקוארדינטה משום ש:

כאשר זה המרחק של הנקודה מהחלק של הסולם שנוגע ברצפה.

ג.
נמצא את האנרגיה הקינטית בסולם.
נגדיר את להיות המרחק של הנקודה מהחלק של הסולם שנוגע ברצפה.
נמצא את המהירויות בקוארדינטות הקרטיזיות:


ועכשיו נמצא את המהירות הכוללת:

אנחנו יודעים כי אנחנו יכולים לסכום את האנרגיה קינטית של כל חלקיק בסולם:

אצלנו הסולם הוא רציף ולכן:

עקרון דאלמבר:

מזכיר כי הוא הכוח המוכלל.
נחשב אותו עם סכימה על כל אלמנט מסה:

אנו יודעים כי:

ואת האנרגיה הקינטית חישבנו בסעיף הקודם, נחשב את הנגזרות החלקיות:

והגענו למשוואת התנועה באמצעות עקרון דלמבר!

ה.

יש לנו שני כוחות מאלצים: הכוח מהקיר הכוח מהרצפה.
כלומר:

הם עובדים בשני נקודות:

נציב את הכוחות והנקודות בהתאמה במשוואה:

ו.
אם נציב את כל מה שמצאנו נראה שמתקיימת משוואת לגראנז משום ש- התאפס.

א.

יש שני דרגות חופש:
,
משום שהמסה נעה בציר זוויתי והרדיוס משתנה לפי הקפיץ
אין אילוצים
ב.

#מכניקה-אנליטית #שיעורי-בית #לגרנזיאן