בהינתן מערכת המורכבת משתי מסות על משטח ללא חיכוך המחוברות על ידי שלושה קפיצים באופן הבא:
המסה מחוברת לקיר על ידי קפיץ בעל קבוע ולמסה על ידי קפיץ נוסף בעל קבוע .
המסה מחוברת מצידה השני לקיר נוסף על ידי קפיץ בעל קבוע , כפי שמתואר באיור.

א. כתבו את משוואות התנועה עבור המסות ובטאו אותן בצורה מטריציונית.
(רמז: מצאו מטריצות ו- המקיימות -
כאשר הוא וקטור המתאר את מיקום המסות)

פתרון סעיף א:
נניח כי המערכת הייתה במנוחה ו- זה השינוי של המסה הראשונה מנקודת המנוחה ו- אותו דבר בהתאם עם המסה השנייה ונניח וכי:
כלומר שמשוואת הכוחות על :

ועל המסה :

נסדר קצת המשוואות כדי שנוכל לבודד את :

נראה כי כאשר:
, ,

ב. מצאו את התדירויות העצמיות של המערכת.
(רמז פתרו , ). מדוע זו המשוואה שצריך לפתור?

פתרון סעיף ב׳:

ננחש פתרון הרמוני:

נציב במשוואת הרמז של סעיף א׳:

בשביל שיהיה פיתרון לא טריוויאלי למערכת משוואות אנחנו צריכים לבדוק מתי הדטרמיננטה של שווה ל-0.
משום שזה אומר שהיא לא הפיכה מה שאומר שהגרעין שלה לא ריק ובו שוכנים הוקטורים שאנחנו מחפשים אשר יכולים לאפס את המטריצה:

נסמן :

נבחר את התדיריות הזוויתיות החיובית כי הזמן תמיד חיובי.

ג. מצאו את צורת התנודה (וקטורים עצמיים) עבור כל אחת מהתדירויות העצמיות.

פתרון סעיף ג׳:
נפתור בעיה מסדר-גנרי:
בגלל ש הפיכה זה אומר שכל הפתרונות לבעיה הזאת:

הם אותם פתרונות למשוואה אם נכפיל משמאל במטריצה ההפיכה :

והגענו להגדרה של וקטור עצמי.
במקרה שלנו אם נכפיל את הוקטור העצמי של הבעיה הגנרית בסקלר שהערך שלו הוא הדטרימננטה של נגיע לוקטור העצמי של ההגדרה הפורמלית.

נציב את הוקטורי מיקום ונכפיל בתוצאה שלנו ונשווה לאפס:

נסמן:

נמצא את היחס בין המקדמים מהשורה הראשונה:

נראה כי:
,
לכל אוסיליציה פנימית ניחשנו פתרון כללי עם פאזות שונות ובשביל למנוע בלבול אשתמש בשני הצורות של פיי ושל .
ולכן:

הם הוקטורים העצמיים.

למען הפשטות לסעיפים הבאים נסמן:

ד. בהינתן :

חשבו את התנועה של המסות כתלות בזמן.

פתרון סעיף ד׳:
מצאנו כי יש לנו שני וקטורים עצמיים וכפי שאנו יודעים חיבור של פתרונות הינו פתרון בשם עצמו ולכן זה הפתרון הכללי:

מכאן נובע כי:

נגזור את משוואות התנועה לפי הזמן כדי להציב את נתוני הסעיף:

אנחנו יודעים שהמשוואה נכונה לכל ערך לכן התלות שהם יתאפסו- לא רלוונטית בגלל שזה יקרה רק תחת תנאי התחלה ממש ספיציים שלא נתונים לנו ואנחנו פותרים את השאלה במקרה הכי כללי.
לכן הפאזה חייבת לאפס את הסינוס אז נבחר ומכך נובע כי גם .

נציב את כל המקדמים שמצאנו במשוואות תנועה ונקבל:

ה.מדען שביצע את הניסוי שתואר בסעיפים הקודמים בטעות שפך דבש על כל המשטח
שבו נעו המסות, מתוך הנחה שכעת קיים חיכוך לינארי בין המסות למשטח כתבו שוב את משוואת התנועה עבור המערכת הכוללת חיכוך, נתחו איכותית( אין צורך בפתרון מדוייק) את תנועת המסות.

פתרון סעיף ה׳:
נשים לב שיש לנו מקרה של אוסילטור הרמוני מרוסן.
באופן כללי וגס הansat למשוואת המיקום מתוך משוואת הכוחות הזאת:

הוא:

מה שאומר שבמקרה שהאוסילציה יותר גדולה מהחיכוך יהיה לנו ריסון חלש מה שאומר המסות ינועו ימינה שמאלה ועם הזמן התנועה תתדעך עד שהם יעצרו
במידה והחיכוך יהיה יותר גדול מהאוסילציה יהיה לנו ריסון חזק מה שאומר שהמסות ידעכו מהר ללא אוסילציות ויעצרו
במידה החיכוך שווה לאוסילציות יהיה לנו ריסון קריטי

ו.לאחר שסיים לנקות את המשטח מדבש (אין חיכוך), המדען שם לב שיש מעט דבש
על אחת מהמסות (הדבש חסר מס)( כאשר ניסה לנקות אותן התחילו המסות לנוע
לכן ניתן לתאר את הניקיון של המדען ככוח חיצוני מחזורי, כתבו שוב את משוואת
התנועה עבור המערכת בזמן שהכוח החיצוני פועל, נתחו איכותית את תנועת המסות,
האם קיים רזוננס במערכת? מהו?

פתרון סעיף ו׳:
כעת יש לנו מקרה של אוסילטור הרמוני מאולץ:

כאשר:
התדרשלהכוח
נשתמש בansat:

כאשר:

נגזור פעמיים את הניחוש:

נציב במשוואת התנועה:

במקרה והקוסינוס מתאפס אין לנו משוואה ולכן נוכל לחלק בו:


כאשר הדטרמיננטה של מה שבסוגריים לא שווה לאפס אז יש רק פיתרון אחד וזה המצב הרגיל.
ואנחנו יודעים שכאשר התדירות במשוואה היא תהיה אחת מהתדירויות העצמיות שמצאנו הדטרמיננטה תהיה שווה לאפס.
כלומר שכאשר התדירות של הכוח שווה לאחד מהתדירויות הפנימיות הדטרמיננטה תהיה שווה ל-0 ואז האמפליטודה תתבדר כלומר שיש לנו תהודה במערכת.
שורה תחתונה ישנה תהודה במערכת אם :

א.

אילוצים:


נגזור לפי הזמן:


נחלק ב-2 ונגזור לפי הזמן שוב:

–נסתכל על המסה השנייה בציר :


מסה ראשונה בציר :

ב.
עם קירובי זוויות קטנות:

ג.