חזרה מתמטית

שאלה 1

a.

b.



c.

d.

שאלה 2

בתרגול הזכרנו את הדיפרנציאל השלם עבור פונקציה רב ממדית, אותה ניתן לכתוב גם על ידי מכפלה פנימית בין וקטור הדיפרנציאל לווקטור הגראדינט-

א. הראו את כלל השרשרת עבור הדיפרנציאל השלם: בהינתן פונקציה התלויה בסט קואורדינטות

ניתן לבטא את הדיפרנציאל של כתלות בקואורדינטות באופן הבא:

כאשר הוא מטריצת היעקוביאן של מעבר הקואורדינטות:

תשובה לסעיף א:


אנו יודעים כי היא פונקציה של לכן הדיפרנציאל שלה שווה ל:

נציב בחזרה למשוואה:

נשנה את סדר הסכימה:

ב.
i.




ii.

שאלה 3

נתונה התפלגות מטען מרחבית:

א. חשבו את האנרגיה שאגורה בתוך כדור ברדיוס בשתי הדרכים המוכרות מחשמל:

והראו שמתקבלות תוצאות שונות. מצאו לאילו ערכי ההפרש בין הגדלים מתאפס עבור גדול מאוד, עבור אילו ערכים ההפרש נשאר סופי או גדל(כדאי להשתמש בחוק גאוס החשמלי).
הסבירו מניין נובע ההבדל בין החזקות השונות.

נחשב את הפוטנציאל כאשר הרדיוס יותר גדול מ- ו-:

נניח כי כדי שהפוטנציאל לא יתפוצץ.
ונשים לב כי כאשר :
לאפיזיקלי

אי לכך ובהתאם לזאת משתמע כי:

נציב במשוואה הרלוונטית ונקבל סוף סוף כי:

וזה רק החלק הראשון :), נחשב את האנרגיה בשיטה השנייה:

כפי שניתן לראות יצאו שני תוצאות שונות.
נחשב את ההפרש:

ניקח בחשבון כי: מה שאומר שאיברים ללא בחזקה חיובית זניחים.
לכן:

באותו באופן כאשר הרדיוס במכנה ו במונה זה אומר שהערך מתאפס ולכן:

הגיע הזמן לפשול שרוולים, נשים לב כי כאשר
יש לנו חלוקה ב-0.
כלומר שהפרש האנרגיות יהיה סופי כל עוד לא יהיה בערכים הללו.
בואו נגדיל ראש ונאמר רגע, מה אם ההפרש בין הרדיוס ל- שואף לאינסוף?
אז נשים לב שאותם תנאים חלים על ובנוסף לכך כדי שהרדיוס לא יהיה במונה(ואז ההפרש יתפוצץ) אנחנו נדרוש שהרדיוס עם החזקה הכי גבוהה יהיה עם חזקה שלילית ולכן:

ב.

נעזר בזהות האהובה:

בנוסף לכך לפי מקסוול:

שאלה 4



אפשר להגיד שהוא מתחיל מ-0 בגלל שהערך ב-0 הוא אפס ולכן זה אותו הסכום.

לשם של האינדקסים אין משמעות לכן נקרא לכולם :

#ממפיס-3 #שיעורי-בית

נזכר בנתון:

נגדיר לשם בדיקה:

נראה כי כאשר אי זוגי וקטן מ- הוא יאפס את הסכום של כל האיברים שלפניו ואחריו ואז יהיה לנו פתרון של טור סופי.