נניח כי:

כפי שניתן לראות השיוויון הזה קורה רק כאשר שני הצדדים שווים לאותו קבוע:
לכן:

שוב נניח הפרדת משתנים:

הומוגנית ולכן:

נחלק לשני מקרים:
כאשר:

וכאשר:

לא ניתן להפריד את שלושת האיברים במשוואה כך שהם לא יהיו תלויים אחד בשני לכן אין לזה פתרון באמצעות הפרדת משתנים

a.

כלומר שלמספרים זוגיים:

למספריים אי זוגיים:

אותו דבר עם :
למספרים זוגיים:

למספריים אי זוגיים:

לכן יש לנו ארבע משפחות של פתרונות של :

עכשיו נזכר בפתרון של השאלה המקורית:

נשתמש בזהות להלן:

נראה כי כאשר n זוגי ו זוגי:

נראה כי כאשר n זוגי ו אי זוגי:

נראה כי כאשר אי זוגי ו זוגי:

נראה כי כאשר אי זוגי ו אי זוגי:

קיבלנו כי הפונקציה המקורית עם הזזה שווה לפונקציה שלנו עד כדי קבוע!

b.

נראה כי כאשר מרווח הפתרונות מתאפס כלומר שהוא הופך מבדיד לרציף.

c.

d.
מצאנו כבר כי:

לכן:

נכפיל ונחלק את הדלטא בריבוע במשוואה:

כאשר :

e.

a.

תנאי השפה המתאימים הם: