a.
יהי פונקציית מבחן

נציב

לכן שני פונקציות ההתפלגות שוות.(שמנו את בערך מוחלט כדי להשאיר את הסדר של הגבולות)

b.
נחשב את התוחלת של שני הצדדים:

לכן משתמע כי:

c.

d.
נזכר בתכונה הזאת:

נגדיר:


ידוע כי הם המאפסים של הפונקציה לכן:

נציב הכל בתכונה:

ידוע כי:

לכן נוציא גורם משותף ונראה כי:

e.
יהי אשר דועכת בפלוס מינוס אינסוף כלומר שהערך שלה בגבולות האלה שואף לערך סופי.

א.
מימד 1:
נשתמש בתכונה שהוכחנו:

שני מימדים:

נעבור לקואורדינטות פולריות:

שלושה מימדים:
נמיר לקוארדינטות ספריות:

ב.
נפתור שוב כאשר:

מימד אחד:

נמצא את ה אשר מאפסים את הדלטא:

נמצא את :

שני מימדים:
נעבור לקוארדינטות פולריות:

קל לראות כי:
,
לפי הנוסחא לוקחים את הערך המוחלט של הנגזרת וגם אנחנו מוותרים על הפיתרון השלילי כי רדיוס הוא גודל פיזיקלי שהוא אי שלילי.

שלושה מימדים:
נעבור לקוארדינטות ספריות:

כידוע:
כלומר ש:
אנחנו יודעים כי:
משמע ש:

לפי ההגדרה:

בגלל שהתוצאה חסרת יחידות ו- מכאן נובע כי:

לכן:

בנוסף לכך:

מה שאומר שכאשר :

נשים לב כי היחידות של הם היחידות של מומנט דיפול!
לכן הוא מומנט דיפול.
כדי להוכיח כי:
זה הצפיפות מטען של דיפול חשמלי יחיד בראשית בציר האיקס נצטרך לוודא 2 תכונות:

הוכחנו כי צפיפות המטען של הדיפול אכן עונה על הדרישה הראשונה!

נשתמש באינטגרציה בחלקים כאשר:
,

משום שהוכחנו כי היחידות של מתאימות ליחידות של דיפול הראנו כי גם התכונה השנייה מתקיימת ולכן זוהי באמת הצפיפות מטען של דיפול חשמלי!
בנוסף לכך אנחנו יודעים שזו הצפיפות של הדיפול החשמלי בראשית הצירים זה בגלל שהדלטא באינטגרל מאלצת את הצפיפות לתת ערך רק כאשר: .
הערה קטנה: משום שהשאיפה לאינסוף של חלשה יותר מהאפס המוחלט של הדלטא בכל נקודה שהיא לא 0 ובפרט בפלוס או מינוס אינסוף.

a.

נתייחס ל כקבוע:
נובע מכך כי גדל עם .
כלומר שיש לנו:

ניזכר שכדי שהערך של , יהיה ממשי אז .
כלומר שאם הקבוע שלילי אז רק ערכי שליליים מתקבלים.
במידה והקבוע חיובי אזי חיובי גם הוא.
מה שמתאר פרבולואיד סיבובי או במילים יותר פשוטות קערה עם רדיוס שגדל שעולה למעלה בציר זד.
במידה והקבוע שלילי אזי מתוארת לנו קערה עם רדיוס שגדל שיורד למטה בציר זד.

b.
נגדיר הגדרות בסיס:

וקטורי הבסיס הם אורתוגונליים ולכן:

נוסחת הגראדיאנט לקוארדינטות אורתוגנוליות:

דיברגנץ:

נשתמש בנוסחת הדיברגנץ לקוארדינטות אורתוגנוליות:

וכעת רק נציב בנוסחא את מה שחישבנו:

לפלאסיאן:

c.
ניזכר באילוץ של המספרים הממשיים ובגלל שהפרבולואיד פתוח כלפי מעלה כאשר זה אומר ש- שהקבוע חיובי ומאותן סיבות גם חיובי.
אנחנו יודעים כי:

אנחנו יודעים ש- תחום בין 0 ל-.
עקב האילוץ:

את חישבנו בסעיפים הקודמים אז רק נותר לנו להציב!

א.
עלינו להוכיח כי:

נפעיל אינטגרל נפחי על שני הצדדים:

קל לראות כי מצד ימין:

מצד שמאל נשתמש במשפט הדיברגנץ:

נתייחס ל- כקבוע ונראה כי: